סדרה חדשה מכפל במנה, והיגדים על התכנסות – בגרות חורף 2023
סדרות 571 · שיעור 44
חורף 2023, שאלה 2 · סעיפים א , ב
שיעור 44: סדרה חדשה מכפל במנה, והיגדים על התכנסות – בגרות חורף 2023
פרק 8 – מה נוסף ב־5 יחידות (סעיפים מבגרויות 571)
1
נוסח השאלה
2
סעיף א – B סדרה הנדסית
3
סעיף ב (1)
4
סעיף ב (2)
📄 נוסח השאלה
נתונה סדרה הנדסית אין־סופית
A
שהאיבר הכללי שלה הוא
a
n
ומנתה היא
q
.
בונים סדרה חדשה
B
שהאיבר הכללי שלה הוא
b
n
= a
n
· q
n−1
.
א.
הוכיחו שגם סדרה
B
היא סדרה הנדסית.
ב.
בנוגע לכל אחד מן ההיגדים (1)–(2) שלפניכם קבעו אם הוא נכון או לא נכון, ונמקו את קביעתכם.
(1) אם הסדרה
A
לא מתכנסת – בהכרח גם הסדרה
B
לא מתכנסת.
📄 נוסח השאלה · המשך
(2) אם הסדרה
A
יורדת – בהכרח היא גם מתכנסת.
סעיף א – B סדרה הנדסית
b
n
= a
1
q
n−1
· q
n−1
= a
1
q
2n−2
📐 נוסחה: סדרה הנדסית
b
n
= a
1
(q
2
)
n−1
b
n+1
b
n
=
a
1
(q
2
)
n
a
1
(q
2
)
n−1
= q
2
המנה קבועה –
B
סדרה הנדסית עם
b
1
= a
1
ומנה
q
2
.
✅ פתרון סופי:
הוכח
: מנה
q
2
📐 נוסחה: סדרה הנדסית
a
n
= a
1
q
n−1
a
n+1
a
n
= q
קבוע
סעיף ב (1)
A
לא מתכנסת, ולכן
|q| ≥ 1
:
|q| ≥ 1 ⟹ q
2
≥ 1
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אינסופית
המנה של
B
היא
q
2
≥ 1
, ולכן גם
B
לא מתכנסת.
✅ פתרון סופי:
נכון
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אינסופית
S =
a
1
1 − q
מתכנסת ⟺ |q| < 1
סעיף ב (2)
דוגמה נגדית:
a
1
= −1
,
q = 2
:
A : −1 , −2 , −4 , −8 , ...
הסדרה יורדת, אבל
|q| = 2 > 1
– לא מתכנסת.
✅ פתרון סופי:
לא נכון
📌 סיכום התשובות
סעיף א
הוכחה
סעיף ב (1)
נכון
סעיף ב (2)
לא נכון
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא
